بررسی و مطالعه جواب های دسته ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی با شرایط مرزی دیریکله

در این رساله، وجود و چندگانگی جواب های مثبت دسته ای از معادلات و دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی با شرط های مرزی همگن دیریکله را بر اساس روش جواب های پایینی-بالایی در دو مفهوم کلاسیک و ضعیف مورد بحث قرار می دهیم. فرض کنید $omega$ دامنه ای کراندار در $mathbb{r}^n$ با مرز هموار $partial omega$ است. ابتدا، وجود جواب های مثبت مسائل نیمه مثبت گون نامتناهی [ -delta u=-a u+b u^2-d u^3-f(u)-displaystyle{frac{c}{u^{alpha}}}quad ext{و}quad-delta_p u=a u^{p-1}- b u^{gamma}-f(u)-displaystyle{frac{c}{u^{alpha}}} ] در $omega$، با شرط های مرزی همگن دیریکله را ثابت می کنیم، که در آن $alpha in (0,1)$، $p>1$، $gamma>p-1$، $a$، $b$، $d$ و $c$ ثابت هایی مثبت هستند و $f:[0,infty) o mathbb{r}$ تابعی پیوسته است به طوری که وقتی $u o infty$، آن گاه $f(u) o infty$ و $f(u)/u o 0$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% سپس وجود جواب های ضعیف مثبت دستگاه غیرخطی egin{equation*} egin{cases} -delta_{p}u=lambda_{1}~ a(x) f(v)+mu_{1}~ alpha(x) h(u),& xin omega, -delta_{q}v=lambda_{2}~ b(x) g(u)+mu_{2}~ eta(x) gamma(v),& xin omega, u=0=v, & xin partialomega, end{cases} end{equation*} را بررسی می کنیم، که در آن $lambda_1$، $lambda_2$، $mu_1$ و $mu_2$ پارامترهایی مثبت و $a(x)$، $b(x)$، $alpha(x)$ و $eta(x)$ توابعی تغییرعلامتدار هستند که ممکن است در نزدیکی مرز، منفی باشند. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% علاوه بر این، در حل پذیری دستگاه $n imes n$ به شکل [ - {delta _{{p_i}}}{u_i} = {lambda _i}{f_i}({u_i}) + {mu _i}{g_i}({u_{i + 1}}),,i=1,2,cdots,n-1,quad - {delta _{{p_n}}}{u_n} = {lambda _n}{f_n}({u_n}) + {mu _n}{g_n}({u_{1}})] در $omega$، با شرط های مرزی همگن دیریکله بحث می کنیم، که در آن $lambda_i$ها و $mu_i$ها پارامترهایی مثبت هستند، $f_i$ها و $g_i$ها نیز متعلق به دسته ی توابع صعودی و $c^1$ هستند به طوری که $mathop {lim } olimits_{x o infty } {f_i}(x)/x^{p_i-1} = 0$ و $f_i$ها دارای ریشه های سقوط کننده هستند. در ادامه وجود جواب های مثبت دستگاه egin{equation*} egin{cases} -delta_{p(x)}u=lambda_{1}~ a(x) f(v)+mu_{1}~ alpha(x) h(u), & xin omega, -delta_{q(x)}v=lambda_{2}~ b(x) g(u)+mu_{2}~ eta(x) gamma(v), & xinomega, u=0=v, & xin partial omega, end{cases} end{equation*} را تحلیل می کنیم، که در آن $p(x) in c^1(mathbb{r}^n)$ تابعی متقارن شعاعی است، $sup| abla p(x)| < infty$، $1 < inf p(x) leq sup p(x) < infty$، $omega=b(0,r) subset mathbb{r}^n$ و $a,b,alpha,eta : [0,+infty) o(0, infty)$ توابعی پیوسته اند. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% در نهایت، وجود جواب های ضعیف مثبت دستگاه غیرخطی egin{equation*} egin{cases} -delta_{p}u=lambda_{1}u^{a}+mu_{1}v^{b},& xin omega, -delta_{q}v=lambda_{2}u^{c}+mu_{2}v^{d},& xin omega, u=0=v, & xin partialomega, end{cases} end{equation*} و دستگاه $(p_1,p_2,cdots,p_n)$-لاپلاس [ -delta_{p_i}u_i=lambda u_1^{alpha_{i1}}u_2^{alpha_{i2}}cdots u_n^{alpha_{in}},,i=1,2,cdots,n, ] در $omega$، با شرط های مرزی همگن دیریکله را ثابت می کنیم، که در آن $lambda$، $lambda_1$، $lambda_2$، $mu_1$ و $mu_2$ پارامترهایی مثبت هستند.